球極投影下的Hopf纖維化

摘 要：Hopf纖維化是代數(shù)拓撲中經(jīng)典的構(gòu)造.它在理論物理學(xué)方面的應(yīng)用十分廣泛.例如：11共振（The Onetoone Resonance）、剛體的運動、磁單極子的勢場、兩態(tài)量子系統(tǒng)的Bloch球面（Bloch Sphere）表示、廣義相對論里TaubNUT空間的全局結(jié)構(gòu)以及龐加萊群（覆蓋群的）的零質(zhì)量螺旋度表示等.為了理解此構(gòu)造，本文通過球極投影給出了Hopf纖維化的幾何直觀.并且在此基礎(chǔ)上利用計算機軟件畫出了部分的Hopf纖維化.此外，由于在文獻［1］中Thurston給出了Hopf纖維化的諸多結(jié)論，但缺少證明.本文給出了相關(guān)結(jié)論的詳細證明.

關(guān)鍵詞：Hopf纖維化；球極投影；纖維叢

1 概述

記Sn為歐氏空間的單位球面.1931年，Hopf構(gòu)造了S3到S2的映射，即Hopf映射，引發(fā)了對纖維與同倫群的研究.其構(gòu)造了一個特殊的纖維化，且任意兩個纖維之間的環(huán)繞數(shù)1，證明了Hopf映射不同倫于常值映射.隨后他證明了同倫群π3（S2）是由Hopf映射生成的無限循環(huán)群，表明三維球面到二維球面映射的同倫類有可數(shù)無窮多［2］.1933年，Hopf利用同調(diào)對于n維多面體到Sn進行完全分類（Hopf分類）［3］.

從同倫的觀點看，Hopf證明了同維數(shù)球面Sn到自身的連續(xù)映射由其映射度唯一決定，這標志著同倫論的誕生，Hopf是同倫論奠基者之一，第一個從拓撲角度來研究同倫論［4］.1935年，Hurewicz在定義同倫群的概念時受到Hopf的影響.后來，F(xiàn)reudental在Hopf與Hurewicz的研究基礎(chǔ)上證明了Hopf分類的完備性.且他發(fā)現(xiàn)了懸垂映射，從此同倫論成為拓撲學(xué)中一個熱門.

Maurício等人［5］研究了Hopf纖維化的推廣，即Hopf流形，他們證明Hopf流形上余1維的非奇異分布是可積的.楊永舉等人［6］對Hopf流形進行了推廣，利用流形上流和萬有覆疊理論，構(gòu)造了Hopf流形上的一個葉狀結(jié)構(gòu).并且證明了某類Hopf流形上不存在閉的（1，1）階微分形式.

2 預(yù)備知識

在這一節(jié)中，我們回顧了纖維叢，纖維化與復(fù)射影空間P1中元素的表示.纖維化是覆疊空間的推廣［7］，是拓撲學(xué)中重要的概念之一.纖維叢的理論，是1946年由美國的斯丁路特、美籍華人陳省身、法國的艾勒斯曼共同提出的.

定義1：如果滿的映射P：E→B，滿足同倫提升性質(zhì)，則稱P為纖維化.其中B被稱為底空間，E被稱為全空間，Y為任意拓撲空間.同倫提升性質(zhì)為任給一個拓撲空間Y，以及交換圖，存在一個h使得下面的圖表中可交換［8］.

任取B中一點b，b在P下的原像被稱為b點的纖維.如果底空間B是道路連通的，可證明B中兩個不同點b1和b2的纖維是同倫等價的.

纖維叢是比纖維化更強的一種結(jié)構(gòu)，Hopf纖維化不僅是一個纖維化，而且是一個纖維叢.為了進一步理解Hopf纖維化，在此處引入纖維叢的定義.

定義2：一個纖維叢是由四元組（E，B，π，F(xiàn)）構(gòu)成，其中E，F(xiàn)是拓撲空間，B是連通的，B被稱為叢的底空間，F(xiàn)被稱為纖維，π為投影映射。（剩余3447字）