中學(xué)數(shù)學(xué)研究

2024年12期

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《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》創(chuàng)刊于1980年，是由江西師范大學(xué)主管、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院主辦，《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》主要介紹中國... 展開

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立足問題引領(lǐng) 促進(jìn)深度理解 1.問題提出問題串教學(xué)是以問題貫穿整個課堂教學(xué)，讓學(xué)生在思考問題、解決問題的過程中提高學(xué)習(xí)的動力，逐步形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在教學(xué)過程中逐漸優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，提升了學(xué)習(xí)能力.數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)就是通過發(fā)現(xiàn)問題，然后解決問題，最終促...
立足必備知識，探究問題本質(zhì) 1.引言（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由. 一位學(xué)生與我討論這道題的第（2）小問. 首先他認(rèn)為不等式f（x）≥a是超越不等式，從函數(shù)的觀點解不等式，應(yīng)該是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找函數(shù)的零點，但這個函數(shù)好像沒有零點，無...
“學(xué)歷案”的設(shè)計應(yīng)強(qiáng)調(diào)深度學(xué)習(xí)的落實 1.問題提出 “學(xué)歷案”是依托于傳統(tǒng)教學(xué)形式方案“教案”、“學(xué)案”、“導(dǎo)學(xué)案”等的優(yōu)點，借助教師的合理編寫與設(shè)計，巧妙融入學(xué)生自主學(xué)習(xí)的經(jīng)歷與過程．“學(xué)歷案”正是在新課標(biāo)、新教材、新高考的“三新”背景下，繼承與發(fā)展了傳統(tǒng)教學(xué)形式方案，是全面...
真題中找靈感探究中尋創(chuàng)新 命題活動是一項具有創(chuàng)新意義的活動，不僅能幫助教師對《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的深入理解，還可以促進(jìn)教師更好的把握、理解教材及高考命題精神.本文介紹筆者參加的一次高中說題大賽時命制的一道試題，就其過程及思考，與同行交流探討. 1.題目立意分析已知...
厘邏輯優(yōu)方案尋本質(zhì) 凸素養(yǎng) 1.問題提出新高考評價體系明確，高考命題要從“知識立意、能力立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)立意”，這要求學(xué)生提出不僅會解題，還要明確為什么這樣解題，并能夠反思、總結(jié)、歸納，尋找簡便科學(xué)的解題路徑，即為解題中理清邏輯明確解題方向，優(yōu)化解題方案，挖掘探尋...

對一道?？碱}的解法探究與本質(zhì)思考 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高考命題應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧．函數(shù)是代數(shù)主線的核心內(nèi)容，是各級各類數(shù)學(xué)考試命題的重點．2024年1月蘇州市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)...
公共邊巧搭橋突破解三角形中組合四邊形的最值問題 近年來，解多三角形問題經(jīng)常出現(xiàn)在高中各級各類考試中，除了多見的“爪形”三角形相關(guān)問題外，組合四邊形的面積和對角線的最值問題更為復(fù)雜，往往需要將正弦、余弦定理與三角恒等變換的知識充分結(jié)合，或結(jié)合平面幾何的知識構(gòu)造全等或相似三角形，將問題巧妙解...
一道雙曲線背景二元函數(shù)模擬題的研究 許多高考數(shù)學(xué)試題或模擬題，往往是將幾個模塊的知識混搭命制，從而體現(xiàn)知識間的相互聯(lián)系和融合，考查綜合分析、處理問題的能力.本文研究的就是一道混搭型的高三數(shù)學(xué)模擬題. 1.試題分析本題是2024屆山西省太原市高三年級模擬考試（二）第14題，是...
GGB助力探究一道解析幾何題 1.試題呈現(xiàn) （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線PF1，PF2與橢圓E的另一個交點分別為A，B，問ΔPAB面積是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.（2024屆巴蜀中學(xué)高考適應(yīng)性月考卷（五）22） 2.試題延伸先...
解析幾何中一類定值定點問題的探究性教學(xué) 筆者近期上了一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)解析幾何專題觀摩課．該課從教材中一道習(xí)題出發(fā)，通過多角度探究與變式，找到從教材習(xí)題通向高考試題的演變之路，總結(jié)了解析幾何中一類定值定點問題的思考路徑與解題規(guī)律，受到聽課教師好評．本文是這堂課探究學(xué)習(xí)過程和教學(xué)反思...
一道拋物線背景最值題的解法與推廣 1.試題呈現(xiàn) 題目已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足y1y2=-16，則x1+y1+2+x2+y2+2的最小值為. 2.解法探析解法1：如圖1，設(shè)弦AB的中點為M（x0，y0），則x1+x2...

一道不等式問題的兩個推廣 本題考查了代數(shù)恒等變形與不等式技巧.本文給出一般化的推廣，以期發(fā)現(xiàn)新的命題. 評注：推廣2相較于命題1在呈現(xiàn)形式上更為一般化，在證明不等式的過程中，恰當(dāng)?shù)厥褂贸Ｓ貌坏仁剑ㄈ缇挡坏仁?、柯西不等式）是解決問題的關(guān)鍵，主體方向明確又不失靈活性，...
一個代數(shù)不等式的證明、加強(qiáng)、推廣及應(yīng)用 1.一個經(jīng)典代數(shù)不等式及證明證法1：Σ表示循環(huán)求和.由柯西不等式得 2.①式的加強(qiáng) 由上述證法3，可得到下面兩種加強(qiáng). 3.①式的推廣結(jié)論4 設(shè)x，y，z為正實數(shù)，k≥1.則 4.①式的應(yīng)用證明：如圖1所示，設(shè)AE=AF=x，BF=B...
一道征解題的證明、最佳系數(shù)及類似 類比上述證明過程，筆者得到上述征解題的兩個類似. 顯然成立，故原不等式成立....
一道模擬試題解法探究與背景溯源 高考數(shù)學(xué)中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題往往具有高等數(shù)學(xué)背景，設(shè)問精巧，將一元與多元、動態(tài)與靜態(tài)、參數(shù)與變量、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合等特點，有助于提升學(xué)生的辯證思維能力.本文給出了一道模擬試題解法背后隱藏的高等數(shù)學(xué)背景. 1.試題呈現(xiàn) 本題主要考查利...
高觀點視角下對一道高三質(zhì)檢試題的溯源探究 1.試題呈現(xiàn) 本試題是福建省部分地市2024屆高中畢業(yè)班4月診斷性質(zhì)量檢測卷第19題，是一道結(jié)構(gòu)緊湊，背景豐富，綜合性強(qiáng)的新定義試題．考查不等關(guān)系式、函數(shù)與方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、數(shù)列求和等相關(guān)知識，考查考生化歸與轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力...
一道解三角形高考題的拓展探究 解三角形是歷年高考的重點內(nèi)容之一，重點考查學(xué)生對正（余）弦定理、三角恒等變換、不等式等知識，以及數(shù)形結(jié)合、消元、換元等數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用，同時注重學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查． 1.試題呈現(xiàn) 2.解法分析 3.拓...
一個涉及三角形內(nèi)外心幾何模型的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.性質(zhì)及證明性質(zhì) 已知△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，且OI//BC，則cosB+cosC=1. 下面給出這個性質(zhì)的三種證明. 證法1：如圖1所示，連接OB，OC，IB，IC，過點O，I作BC得垂線，垂足分別為M，D.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半...
一道橢圓試題的解法與結(jié)論推廣 2023屆湖北省七市（州）高三3月聯(lián)合考試統(tǒng)一調(diào)研測試第21題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，從深層次反映解析幾何數(shù)學(xué)本質(zhì)一道優(yōu)秀試題，考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)及解析幾何的圖形問題代數(shù)化的本質(zhì).本文就該試題的解法、變式及推廣進(jìn)...
探究推廣一道橢圓定點問題 圓錐曲線試題中，隨著點或線的運動，整個題目體系中有關(guān)的點、線、斜率、距離、面積等跟著變化起來，運動中的幾何特征與數(shù)值的不變性是教學(xué)研究與考試命題的重要素材［1］.基于此，結(jié)合［2］的思考方法，本文對2023年9月重慶一中高三月考解析幾何的定...

對滿足“abc=1”的不等式證明方法的研究 筆者梳理近些年初、高中各級各類數(shù)學(xué)競賽不等式問題，發(fā)現(xiàn)有一類滿足條件“abc=1”的不等式證明問題，難度不一.基于SOLO分類理論，筆者從通性通發(fā)的角度出發(fā)，選取12道典型問題，對該類不等式證明方法予以歸類，現(xiàn)與讀者分享、交流，以期拋磚引玉...
三角形中一類取值范圍問題的求解 解三角形問題是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是高考常考題型.本文探究一道三角形中一類取值范圍的求解問題，供參考. 1.問題呈現(xiàn) 2.思路探究 3.歸納小結(jié) 事實上，這類問題還可以這樣設(shè)置問題“求ΔABC周長的取值范圍”，具體解題過程也可以用到這兩種...
例談概率加法與乘法公式證明一類不等式 本文通過具體案例，展示借助概率的基本性質(zhì)，尤其概率的加法公式與乘法公式，證明一類不等式． 1.性質(zhì)及公式文［1］第十章“概率”第一節(jié)“隨機(jī)事件與概率”第4小節(jié)“概率的基本性質(zhì)”中提煉出概率的基本性質(zhì)：性質(zhì)1 對任意事件，都有PA≥0． ...
例析復(fù)數(shù)乘法在解析幾何中的應(yīng)用 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形問題，解析幾何中的點用一對有序?qū)崝?shù)（x，y）來表示.復(fù)平面上點與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)，也就是說，平面上的點（x，y）可以用復(fù)數(shù)x+yi來表示，所以復(fù)數(shù)與幾何有著緊密的聯(lián)系，也為用復(fù)數(shù)知識解決解析幾何問題提供了依據(jù). ...
阿波羅尼斯球在立體幾何中的應(yīng)用初探 阿波羅尼斯圓雖然只是以習(xí)題的形式在高中教材出現(xiàn)，卻是各地質(zhì)檢和高考題的命題熱點．在平時的月考聯(lián)考中，作為數(shù)學(xué)文化試題直考查阿波羅尼斯圓，有時需要利用題干中隱含條件，合理轉(zhuǎn)化，常常結(jié)合平面幾何、立體幾何知識聯(lián)系在一起，多角度進(jìn)行考察．一、利...
非對稱性韋達(dá)定理問題的解法探究 直線與圓錐曲線綜合問題是高考中的常見問題，在解答這一類型的問題時，往往需要通過聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，得到關(guān)于兩交點坐標(biāo)的一元二次方程，一般利用韋達(dá)定理整體代換兩交點坐標(biāo)對稱結(jié)構(gòu)的表達(dá)式，從而解決問題.但是有時會遇到套用韋達(dá)定理不能一次...

一道泰國奧林匹克競賽試題的證明及變式推廣 1.試題呈現(xiàn) 這是2023年泰國奧林匹克競賽試題的一道證明題，試題簡潔、優(yōu)美，其中不等式的左側(cè)是以分式和的形式呈現(xiàn)，且前三項與后三項分別對稱.本文擬對該不等式進(jìn)行解法探究，并對試題進(jìn)行變式與推廣，供讀者參考. 2.證法探究評注：此證法運用...
一道奧林匹克競賽題引發(fā)的探究與思考 觀察到①中分式的結(jié)構(gòu)，注意到分母中系數(shù)與分子的關(guān)聯(lián)，聯(lián)想到Nesbitt不等式，可得如下結(jié)論此推論為摩爾多瓦不等式問題的推廣.由定理1及冪平均不等式容易證明，在推論1中取n=3，k=2，λ=6即得2022年摩爾多瓦數(shù)學(xué)奧林匹克中的不等式問...
一道2024年數(shù)學(xué)奧林匹克不等式的證明與變式 該題是2024年西班牙數(shù)學(xué)奧林匹克試題的第2題，是一道n元不等式證明題，該題簡潔且內(nèi)涵豐富，很有新意，值得探究.本文呈現(xiàn)其證法，并作變式探究，供讀者參考. 證法1：對于k=1，2，…，n，有xk>1，且所以（112（x1－1）+1）...

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