中學(xué)數(shù)學(xué)研究

2024年11期

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《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》創(chuàng)刊于1980年，是由江西師范大學(xué)主管、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院主辦，《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》主要介紹中國... 展開

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專題復(fù)習(xí)作載體素養(yǎng)提升為目標(biāo) 高三復(fù)習(xí)不是對已學(xué)知識的簡單重復(fù)與強化，而是一個再學(xué)習(xí)、再總結(jié)、再反思，進而提高綜合運用能力的過程.有的放矢、精心設(shè)計的專題復(fù)習(xí)課無疑是實現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)的有效手段.本文以解決高三學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的困惑為出發(fā)點，設(shè)計了一堂專題復(fù)習(xí)課，并提...
對主題探究課的教學(xué)實踐與思考 一、問題背景《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，“日常教學(xué)活動評價，要以教學(xué)目標(biāo)的達成為依據(jù).［1］” “用導(dǎo)數(shù)探究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是北師大版新教材（2019版）的新增內(nèi)容，是繼“正方體截...
探索問題解決思路提升邏輯推理素養(yǎng) 邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的基本方式之一，體現(xiàn)了建構(gòu)和推演數(shù)學(xué)以及運用數(shù)學(xué)知識來解決問題的方法特征. ［1］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將邏輯推理作為六大核心素養(yǎng)之一．邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題...
例析幾道創(chuàng)新題探索數(shù)學(xué)命題新思路 近年來，各地模擬考試和高考試題中出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)新穎、情境鮮活的創(chuàng)新型試題，這類試題不但考查了考生在新情境下，靈活應(yīng)用已有知識與方法解決問題的能力，而且進一步提升學(xué)生處理新題型的能力. 1.新定義型例1 （江蘇省金陵中學(xué)2024屆高三下學(xué)期2月...
分賭注問題的歷史、求解與應(yīng)用 1.分賭注問題的歷史背景分賭注問題又稱為分點問題或點問題. 在概率論中它是個極其著名的問題. 在歷史上它對概率論這門學(xué)科的形成和發(fā)展曾起過非常重要的作用.1654年法國有個叫德·梅耳的賭徒向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了分賭注問題. 帕...

一道教材課后習(xí)題的拓展探究與應(yīng)用 題目（2019年人教A版（數(shù)學(xué)必修第一冊）第120頁拓廣探索第10題）已知f（x）=ax，g（x）=（1a）x（a>0，且a≠1）. （1）討論函數(shù)f（x）和g（x）的單調(diào)性；（2）如果f（x）<g（x），那么x的取值范圍是...
圓的一個優(yōu)美性質(zhì) 眾所周知，如果P是圓C上的一個定點，A，B是圓C上的兩個動點，且直線PA與PB的夾角θ=90°，則直線AB恒過定點，即圓心C.我們自然會問：如果θ為定值但不等于90°，那么直線AB會有怎樣的性質(zhì)呢？本文運用“齊次化”方法...
從課本習(xí)題到一組優(yōu)美結(jié)論 1.提出問題普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊習(xí)題8.3 綜合應(yīng)用第8題是：分別以一個直角三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體.這3個幾何體的體積之間有什么關(guān)系？該題也是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)...
一道雙重最值問題的賞析 九省聯(lián)考數(shù)學(xué)填空壓軸題是一道雙重最值問題，題目涉及到三個變量，約束條件較多且復(fù)雜.筆者對該題予以深入研究，分別從代數(shù)角度和幾何角度思考解法，給出兩個思路六種解法，現(xiàn)與讀者分享、交流，以期拋磚引玉. 1.試題的呈現(xiàn)與分析題目以maxM表示...
探究一道不等式恒成立壓軸小題 山東省菏澤市2024屆高三下學(xué)期一?？荚嚨?4題，是一道含有兩個參數(shù)的不等式恒成立的典型試題，該題蘊含著等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，本文探究其解法和同型變式. 1.試題再現(xiàn) 關(guān)于x的不等式xeax+bx-lnx≥1（a>0）恒成立，則ba...
一道高三導(dǎo)數(shù)質(zhì)檢試題的探究 2024年1月，福建省部分地市進行了聯(lián)考，其中第21題的導(dǎo)數(shù)解答題引起筆者的關(guān)注，本文對其解法及結(jié)論進行探究，與同仁交流. 1.試題呈現(xiàn) 已知函數(shù)f（x）=alnx－x－1x+1有兩個極值點x1，x2.（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）證明：...
一道三市質(zhì)檢導(dǎo)數(shù)題的解法探究及試題溯源 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）第83頁中強調(diào)：教師要加強學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考、理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián).在一題多解中可...

關(guān)于Milosevic不等式的再探究 1.引言設(shè)a，b，c，R，r，s，△ABC分別為△ABC的三邊長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長與面積，∑表示循環(huán)求和.文［1］介紹了由D.M.Milosevic提出的如下不等式： ∑ab+csin2A2≥12（1－r2R）≥38①. 文...
關(guān)于三角形中線長的一個不等式 文［1］給出了一個涉及三角形三邊長的恒等式：設(shè)△ABC的三邊長為a，b，c，三個內(nèi)角為A，B，C，r，R分別為內(nèi)切圓和外接圓半徑，求證： b+c2bccosA+c+a2cacosB+a+b2abcosC=5+2rR ① 本文首先給出①式的...
一道三元九次對稱不等式引發(fā)的研究 原題已知a，b，c都是正實數(shù)，求證： a+b+c1a+1b+1c≥2a2+b2+c2ab+ac+bc+2a2b2+b2c2+c2a2abca+b+c+5. 易知原題a，b，c是對稱的，如果作一下代數(shù)變換，可得如下等價命題：已知a，b，c...
一道拋物線問題的求解探究與結(jié)論推廣 南通市2024屆高三期末調(diào)研（新結(jié)構(gòu)）試題第18題是一道以“新定義”背景的拋物線試題，本文在對該試題進行溯源和解法探究的基礎(chǔ)上，對試題從變式到結(jié)論推廣進一步進行探究. 1.試題再現(xiàn) 已知拋物線E：y2=4x的焦點為F，若△ABC的三個頂點都...
圓錐曲線中有關(guān)斜率與定點定值的兩個結(jié)論及應(yīng)用 圓錐曲線有著非常豐富的性質(zhì)和許多美妙的結(jié)論，若在平時的學(xué)習(xí)中注意總結(jié)、積累并合理運用，在解題中將收到事半功倍的效果．本文介紹圓錐曲線中與斜率及定點定值有關(guān)的兩個結(jié)論，并舉例說明其應(yīng)用．結(jié)論1 已知動直線l交橢圓x2a2+y2b2=1（a&...
對一類圓錐曲線相交弦中點問題的探究 一、試題呈現(xiàn)與解析題目已知點A－2，0，B2，0，動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為－34，記動點P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點F1，0與曲線E相交的兩條線段AB和CD相互垂直（斜率存在，且A，B，C，D在曲線E上...
一道解析幾何模考題的推廣研究 1.問題的提出典例已知橢圓C：x26+y2b=1（b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，C是橢圓的中心，點M為橢圓C上的一點，且滿足MF1·MF2=5，MC=2. ⑴求橢圓C的方程； ⑵設(shè)定點Tt，0，過點T的直線l交橢...
一道橢圓試題中的定值問題及推廣 在一道高三聯(lián)考橢圓面積題目進行解答過程中，筆者發(fā)現(xiàn)其定值結(jié)論，對定值結(jié)論進行更一般化的推廣，并把結(jié)論進行推廣到雙曲線中. 1.題目呈現(xiàn)及求解題目（2023年12月重慶巴蜀中學(xué)高三聯(lián)考）已知點P（x0，y0）是橢圓E：y2a2+x2b2=1...

“線性組合”模型在解題中的應(yīng)用 在許多數(shù)學(xué)問題中，常用到兩個基本量α，β的“線性組合”模型，即λα+μβ（λ、μ為實常數(shù)）的形式.應(yīng)用“線性組合”模型，可以將目標(biāo)量與已知量相關(guān)聯(lián)，用聯(lián)系地觀點看待問題，從而將所求結(jié)論轉(zhuǎn)化到已知條件上來求解.本文舉例說明“線性組合”模型在解...
構(gòu)建方程求最值，數(shù)形結(jié)合探本質(zhì) 函數(shù)最值問題涉及到函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)，而且當(dāng)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，問題往往也較難解決，本文以一道經(jīng)典試題為題，通過探究該題的解答過程，很好體現(xiàn)了如何構(gòu)建方程，采用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)最值問題，現(xiàn)將筆者的思考展現(xiàn)如下，以饗讀者. 一.問題提出原...
一道“非對稱”二元最值題的解法探究 在強基或競賽中，二元條件最值試題是熱點題型，這類問題結(jié)構(gòu)形式情形復(fù)雜，題型多樣，綜合性強，是對學(xué)生能力要求較高的一類試題. 本文對一道“非對稱”結(jié)構(gòu)的二元條件最值題的解法的進行探究. 1.試題呈現(xiàn) （中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2024年1...
一道高三聯(lián)考題解法的探討 高考數(shù)學(xué)作為考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識綜合運用能力的重要途徑，一直以來備受廣大考生和教師的高度關(guān)注.特別是新高考以來，高考數(shù)學(xué)命題趨勢變化明顯，推陳立新，難度和靈活性有較大提升，解題能力也提出了更高的要求.因此在高考復(fù)習(xí)的過程中，教師在?？碱}的解法上...
例析二次式構(gòu)造在不等式問題中的應(yīng)用 二次函數(shù)、方程、不等式三者之間聯(lián)系密切，在高中數(shù)學(xué)中有非常重要的作用.深刻理解二次函數(shù)、方程、不等式之間的本質(zhì)聯(lián)系，對于解決一些較復(fù)雜的不等式問題也有很好的借鑒意義.本文通過幾道例題來說明其在不等式問題中應(yīng)用. 例1 已知x、y、z∈0，1...
例析特殊函數(shù)法在求解高中數(shù)學(xué)客觀題中的妙用 1.引言著名數(shù)學(xué)家希爾伯特認為：“在討論數(shù)學(xué)問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.特殊化是克服數(shù)學(xué)難題最重要的杠桿之一.”此觀點深刻地揭示了特殊與一般數(shù)學(xué)思想的重要性，尤其是特殊化思想的重要作用. 何為特殊化思想？簡言之，對于一...
小代換大乾坤 一、代換之乾坤大挪移三角形中有很多優(yōu)美的恒等式，如：在ΔABC有tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1．如果我們令tanA2=x，tanB2=y，tanC2=z，則xy+yz+zx=1，在此前提下，我們利用...
一道拋物線試題的解法探究與推廣 本文給出對2024年合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷第18題的解法探究，并對該題進行推廣. 1．問題呈現(xiàn) 題目已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F0，1，過點F的直線l與C交于A，B兩點，過A，B作C的切線l1，l2，...
圓錐曲線與三角形的“五心”問題分類導(dǎo)析 圓錐曲線與三角形的“五心”（重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）問題是一類極富思考性和挑戰(zhàn)性，具有相當(dāng)深度和難度的重要題型，頻頻出現(xiàn)在各級各類考試卷中，凸顯出較好的區(qū)分和選拔功能，是考查學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的極好素材.本文分類并配例加以剖析，旨...
一道雙曲線模擬題的解法與拓展探究 作為重要圓錐曲線之一的雙曲線，在近年高考及各地模擬卷中，以雙曲線為背景的解答題成為考查解析幾何內(nèi)容的一大命題熱點.為此，本文對湛江市2024屆高三一模中一道最新雙曲線模擬解答題從解法到拓展進行探究. 1.試題重現(xiàn) 已知P（4，3）為雙曲線C...
圓錐曲線中與角度有關(guān)問題的求解策略 圓錐曲線與角度有關(guān)的問題一直是高考和模擬考試命題的熱點.此類問題常常與解三角形、平面向量、斜率等知識結(jié)合在一起考查，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，本文通過最近的幾道模擬試題為著手點，重點分析解決此類題型的一般思路. 例1 已知F...

一個幾何模型的等角性質(zhì)及其應(yīng)用 切線是平面幾何中最基本的模型之一，與之相關(guān)的最熟悉的是切割線定理，筆者在競賽培訓(xùn)過程中，探究到一個幾何模型的等角性質(zhì). 性質(zhì) 如圖1，P是圓O外一點，過P作圓O的兩條切線PA、PB，切點為A、B，M是弦AB中點，C為圓O優(yōu)弧AB上一點，連接...
一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的證明、變式與推廣 1.試題呈現(xiàn) 題目設(shè)a，b，c為正實數(shù)，且滿足（a+b）（b+c）（c+a）=1，求證：a21+bc+b21+ca+ c21+ab≥12（）. 這是2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題的一道不等式證明題，可以看出該不等式的分子都是...
一道東南地區(qū)數(shù)學(xué)競賽題的證明與推廣 1.賽題呈現(xiàn) 問題1 設(shè)a，b為正數(shù)，證明：（a3+b3+a3b3）（1a3+1b3+1a3b3）+27≥6（a+b+1a+1b+ba+ab）.（1）分析：該題是2023年第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克第1題不等式（1）雖然是二元不等...

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