半群 In,r 的極大(逆)子半群

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摘要：設 Sn 和 In 分別是Xn={1，2，...，n }上的對稱群和對稱逆半群.對0 r ≤ n，令I r）=α In ： im（α） r}，則 I（n，r）是對稱逆半群 In 的雙邊理想.對0≤ r ≤ n-1，考慮半群Inr=I（n r）us 的極大（逆）子半群的完全分類.證明了半群 In，r 的極大子半群和極大逆子半群是一致的.

關鍵詞：對稱群;對稱逆半群；理想;極大子半群;極大逆子半群

中圖分類號：O152.7   文獻標識碼：A   文章編號：1009-3583（2024）-0085-04

The Maximal Inverse Subsemigroup of a Semigroup In，r

XIAO Jian， YU Jiang-hui， LUO Yong-gui

（School of Mathematics Science， Guizhou Normal University， Guiyang 550025， China）

Abstract： Let Sn and In be symmetric group and symmetric inverse semigroup on Xn={1，2，...， n} respectively. For 0 r n， put I（n， r）=α eI ： im（α）≤ r}， I（n，r） are the two-sided ideals of symmetric inverse semigroup In . For 0 r ≤ n-1， we need to consider complete classification of the maximal inverse subsemigroup of a semigroup In = I（n， r）usn . This paper proved that the maximal sub- semigroup and the maximal inverse subsemigroup of In，r are consistent.

keywords： symmetric group; symmetric inverse semigroup; ideal; maximal subsemigroup; maximal inverse subsemigroup

設 G 是群，P 是 G 的非空子集，〈P〉表示群 G 的子集P 生成的子群 Q.設 G 是群，H 是 G 的真子群，對 G 的任意子群 Q 都有 H Q G 推出 Q=H 或 Q= G， 則稱 H 是群 G 的極大子群（如果 G 是群， H 是 G 的真子群，對任意的a ∈G＼H都有G =＜HU{a ＞，那么稱H 是 G 群的極大子群）.設 S 是半群，A 是 S 的非空子集，a，e ∈S.若 e2=e， 則稱 e 是 S 的冪等元，A 中所有冪等元之集記為 E（A）.若存在 b∈S 使得 a =aba，則稱 a 是S 的正則元，A 中所有正則元之集記為Reg（A）.如果 Reg（S）=S，則稱 S 是正則半群（如果半群 S 中的每個元素都是正則的，那么稱 S 是正則半群）.若存在 b∈S 使得 a =aba 且 b=bab， 則稱 b 是 a 的逆元，a 在半群 S 中的所有逆元之集記為 V（a）.設 S 是正則半群， 若半群 S 中的每個元素都有唯一的逆元， 則稱 S是逆半群.易見， 冪等元是正則元但正則元不一定是冪等元， 逆半群是正則半群但正則半群不一定是逆半群， 子群是逆子半群但逆子半群不一定是子群.若 SA A， 則稱A 是半群 S 的左理想;若 AS A， 則稱 A 是 S 半群的右理想;若 A 既是半群 S 的左理想又是半群 S 的右理想， 則稱 A 是半群 S 的雙邊理想， 簡稱理想（如果 SAS A， 那么稱A 是半群 S 的理想）.〈A〉表示半群S 的子集A 生成的子半群.設S 是（逆）半群， M 是 S 的真（逆）子半群，對 S 的任意（逆）子半群 T 有 M T S 推出 T=M 或 T=S，則稱M 是 S 的極大（逆）子半群（如果 S 是（逆）半群，M 是 S 的真（逆）子半群，對任意的 a ∈S＼M 都有S = MU a ，那么稱M 是S的極大（逆）子半群）.如何刻畫半群 S 的極大子半群一個大家感興趣的問題.當半群 S 是逆半群時， 又如何刻劃半群 S 的極大逆子半群.對于有限半群具有某種性質(zhì)的極大（逆）子半群的研究目前已有許多結(jié)果[1-9].

設自然數(shù)n ≥2，X ={1，2，3， ， n -l， n ， 并賦予自然數(shù)的大小序.Sn，In 和 Pn 分別表示Xn 上的對稱群，對稱逆半群和部分變換半群.對0≤ r ≤ n ，令In， r）={α I ： im α r ， 易見 I（n，r）是對稱逆半群In 的逆子半群且對任意的α eIn， r）， Y ∈ In， 都有 im（βay） r l， 即6areI（n r）， 因而 I（n，r）是對稱逆半群 In 的雙邊理想.記 SIn =In ＼Sn，則稱 SIn 是Xn 上的部分一一奇異變換半群.顯然 SIn =I（n，n-1）.對0≤ r ≤ n-1，令In r =I n r usn ， 易證 In，r 是對稱逆半群 In 的子半群.文[1]證明了 Sn 對稱群的極大子群的分類.文[2]獲得了對稱逆半群In 的極大逆子半群 M 有且僅有兩類： M = I（n，n -2）usn 和 M=（n n-）UG= UG ， 其中 G 是群 Sn 的極大子群， 進一步證明了對稱逆半群 In 的理想 I（n， r）的極大逆子半群的分類;文[3]研究了域 F 上的有限維向量空間的對稱逆半群 I（ V）的極大逆子半群的分類，進一步獲得了I（ V）的理想的極大逆子半群的分類;文[4]討論了有限部分一一保序變換半群 OIn 的極大逆子半群的分類;文[5]進一步證明了 OIn 的理想 K（n，r）的極大逆子半群的分類;文[6]繼續(xù)研究了有限部分一一保序或保反序變換半群 DOIn 的理想 KD （n，r）的極大逆子半群的分類;文[7]證明了 E-類保序嚴格部分一一變換半群。（剩余3210字）