中學數(shù)學研究

2023年03期

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《中學數(shù)學研究》創(chuàng)刊于1980年，是由江西師范大學主管、江西師范大學數(shù)學與信息科學學院主辦，《中學數(shù)學研究》主要介紹中國... 展開

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基于數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的余弦定理教學設(shè)計 余弦定理是高中數(shù)學重要的內(nèi)容，是解決數(shù)學問題的重要工具.具體來講，余弦定理形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，不僅是勾股定理的推廣，同時也是正弦定理的深化，在解三角形中發(fā)揮著不可替代的重要.因此，余弦定理引起一線教師們的廣泛關(guān)注，尤其在如何開展余弦定理的教...
基于大觀念、大問題視角下的數(shù)學深度教學 1 問題的提出新課程改革以來，自主、合作的探究式課堂精彩紛呈.因此，如何讓學生在教師引領(lǐng)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性且揭示本質(zhì)的問題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的深度教學就顯得尤為重要.由于人們總是在一定觀念指導(dǎo)或影響下進行活動［1...
注重“四基”凸顯“四能”，彰顯數(shù)學核心素養(yǎng) 平面向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.具體設(shè)計高考命題時，可從幾何角度來設(shè)置，也可從代數(shù)角度來設(shè)置，借助平面向量的相關(guān)概念、公式及其變形、定理性質(zhì)、運算等來創(chuàng)設(shè)情境，綜合相關(guān)知識與數(shù)學思想方法，考查相關(guān)的數(shù)學核...
明確路徑，有序探究 眾所周知，數(shù)學探究是一種尋求新知的過程，同時也一種教學模式，是一種在教師指導(dǎo)下學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.數(shù)學探究教學在激發(fā)學習動機、豐富學生學習方式、增強學習效果、培養(yǎng)創(chuàng)新人才上具有其他教學方式不可替代的功能.但當前...
指向深度學習的深度教學 數(shù)學深度教學是幫助學生“通過數(shù)學會思維”，學會總結(jié)反思和“再認識”，強調(diào)通過“聯(lián)系的觀點”幫助學生更好地學會學習，深入學習，從而真正成為學習的主人的教學.單元復(fù)習教學中，圍繞教學中的重難點，通過對相關(guān)題目的背景分析、解法思考等追溯題目的根源...
明思想之道，優(yōu)解題之術(shù) “取勢、明道、優(yōu)術(shù)”是中國古代的哲學思想，就是指“明確方向，把握規(guī)律，辦事有方”.它闡明了做任何事情都應(yīng)遵循的基本道理，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的瑰寶，可以成為我們在深化教育領(lǐng)域綜合改革的新形勢下做好數(shù)學教育的指導(dǎo)思想［1］. 知識是載體，方法...

只能“平行于x軸”嗎？ 1 問題呈現(xiàn) 題目已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，－2），B（32，－1）兩點．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點P（1，－2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=T...
從試驗到論證 數(shù)學試驗，是在綜合解決學習任務(wù)時，根據(jù)問題情境，構(gòu)造出具體的實例或反例、發(fā)現(xiàn)或猜測實例蘊含的性質(zhì)，通過進一步檢驗、歸納與推廣等過程，實現(xiàn)對學習任務(wù)的深刻理解的數(shù)學學習活動.數(shù)學試驗，要從觀察數(shù)學對象開始，是數(shù)學學習、數(shù)學探究與數(shù)學研究的基礎(chǔ)...
從考題到課本再到考題 1 問題提出不少教師認為，教材只是講授知識的載體，對指導(dǎo)怎樣解題作用不大.事實上，知識傳授與解題本身并不割裂，即便單純地從指導(dǎo)解題出發(fā)，教材中同樣蘊含著豐富的解題營養(yǎng).只要深入地研究課本，就能汲取課本中富含的養(yǎng)分，提高解題技能，充分發(fā)揮其...
解題教學應(yīng)在學生“卡殼處”下功夫 近期，筆者在高三復(fù)習中選用了一道解析幾何題，試題的難度適中，但學生們的得分情況讓人大跌眼鏡，與之前的預(yù)想大相徑庭.本文是筆者對該題教學的點滴思考，與大家分享. 1 試題呈現(xiàn) （濟南市2022年1月高三學情調(diào)研檢測第22題）已知P為圓M：x2...
立足本手　巧構(gòu)妙手　釋疑俗手 2022年語文新高考Ⅰ卷以圍棋的三個術(shù)語“本手、妙手、俗手”為作文題目，其中本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法.筆者由此想到，在數(shù)學的解題教學過程中，不也會經(jīng)常遇到的正規(guī)解法...
特殊圖形探路　極限思維求解 2022年上海高考數(shù)學卷第16題延續(xù)了上海卷一貫的命題風格：對兩個命題真假性進行判斷.題干表述語言簡潔明確，思維能力要求很高，題目設(shè)計富有創(chuàng)意.有不少優(yōu)秀的學生在此題上都馬失前蹄，痛失五分.但也有數(shù)學素養(yǎng)高的學生直呼簡單，更多的考生則是束手...
多角度探究2022新高考Ⅰ卷多選壓軸題 2022年新高考Ⅰ卷多選的壓軸題是一道函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)綜合題，要求學生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性、對稱性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，對數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求. 一、考題呈現(xiàn) 已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函...
研磨經(jīng)典問題，尋根拓展提升 1 試題析解（龍巖市2022年高三3月質(zhì)檢第20題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a，b，c是三個連續(xù)的正整數(shù)，且a<b<c，C=2A. （1）求a；（2）將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)π3到AD，求△A...

三角形半角正切立方和的幾何不等式的加強 參考文獻［1］匡繼昌.常用不等式（第五版）［M］.濟南：山東科學技術(shù)出版社，2021：311....
安振平老師提出的三道不等式的統(tǒng)一證明 安振平老師曾先后分別提出如下三道不等式問題：在具體證明時根據(jù)不等式的構(gòu)造所含的字母個數(shù)選取n的取值，同時假設(shè)的目的在于待定指數(shù)t，通過合理變形利用均值不等式確定具體的指數(shù)t的值，最后利用不等式的同向相加性完成證明. 待定系數(shù)是數(shù)學常用的一...
三角形內(nèi)接三角形周長最小值及其應(yīng)用 本文探求三角形內(nèi)接三角形周長的最小值，并利用其最小值得出兩個有趣的定理. 定理1 如圖1，△DEF的三個頂點分別在三角形△ABC的三邊上，AH是△ABC的BC邊上的高，∠ABC=θ，θ∈（0，π2），則△DEF周長最小值為2AHsinθ. ...
橢圓切線與焦半徑之間的有趣性質(zhì) 本文給出兩個新發(fā)現(xiàn)的橢圓、雙曲線涉及切線及端點為切點的兩焦半徑的有趣性質(zhì)....
從2021年一道高考題談圓錐曲線上四點共圓問題 本文從2021年一道高考題談起，用從特殊到一般的方法探究圓中的相交弦定理、割線定理以及切割線定理在圓錐曲線中的表現(xiàn)形式，進而發(fā)現(xiàn)圓錐曲線上四點共圓的一個更為一般的充要條件［3］［4］. 圓中的切割線定理可以進一步推廣到圓錐曲線中嗎？ 4.再...
一道拋物線試題的解答與推廣 1 試題呈現(xiàn) 已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=x-2與拋物線C交于A，B兩點. （1）求△FAB的面積；（2）過拋物線C上一點P作圓M：（x-3）2+y2=4的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線C交于異于點P的兩點D，E.證明：...
2022年新高考Ⅱ卷解幾題的多解、推廣及變式 一、試題呈現(xiàn) （2022年新高考Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y=±3x. （1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩...
一道模擬試題的解法探究及推廣 圓錐曲線綜合問題是解析幾何的核心內(nèi)容，是歷年高考數(shù)學的重要考點之一，也是高考復(fù)習備考難突破的難點之一，對于圓錐曲線綜合問題，由于題目文字符號多且運算量大，使得學生在解題過程中目標性不強并且方法單一，得分率偏低. 在高考復(fù)習備考中，我們希望學...

構(gòu)造函數(shù)破解高考選填壓軸題 2022年全國高考數(shù)學試題新穎靈活，不落俗套，突出了理性思維、數(shù)學本質(zhì)、核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查.試題的創(chuàng)新和難度的陡升，引發(fā)考生、家長及社會的熱議和關(guān)注.試題對扭轉(zhuǎn)機械刷題，死記套路的教學行為有積極的導(dǎo)向作用，給今后中學數(shù)學教學帶來了挑戰(zhàn)...
例析導(dǎo)函數(shù)零點討論中分界點的確定技巧 我們在運用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)問題時，經(jīng)常在對導(dǎo)函數(shù)的分類討論中，由于不能正確劃分分類標準造成解題失誤.本文針對這個問題，通過分析和研判典型問題的求解，進一步探討幾種常用的確定分界點的方法，供讀者朋友參考. 1.根據(jù)影響導(dǎo)函數(shù)正負號的參數(shù)取值確...
一道最值問題的多角度解法 函數(shù)最值的求解可以有很多方法，不等式、函數(shù)單調(diào)性等，不同的方法各有不同的優(yōu)勢，本文給出了一道求最值問題的不同求解方法，旨在引導(dǎo)學生進行發(fā)散思維，善于聯(lián)系，抓住問題本質(zhì)，從而解決數(shù)學問題. 結(jié)語：對于一個數(shù)學問題，若能根據(jù)已知與要求之間的關(guān)系...
例析構(gòu)建圓的模型巧解向量最值問題 向量最值是高中數(shù)學很常見問題，根據(jù)相關(guān)代數(shù)條件構(gòu)造幾何圖形，從其特征、性質(zhì)入手巧解向量問題是一種較為簡便的方法.其中圓是數(shù)學中重要的幾何圖形，其在解決此類問題時易被忽視，特別是需要根據(jù)問題的描述，尋找“隱圓”，建立圓的模型來求解，往往是一種...
圓錐曲線的定義在解題中的運用 定義是揭示事物本質(zhì)屬性的思想形式，面對一個數(shù)學對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器. 圓錐曲線的定義是分析、研究、解決圓錐曲線問題的重要依據(jù)與手段，是圓錐曲線幾何性質(zhì)、定理的“ 起源”. 圓錐曲線的很多問題都與定義緊密相連，圓錐曲線...
挖掘定點，優(yōu)化解題 在研究與動直線有關(guān)的問題時，有些動直線恒過定點，解題時若能抓住這“點”，從定點入手，把定點作為尋找解題思路的切入點和突破口，往往可以另辟蹊徑，起到事半功倍的效果.下面結(jié)合幾道例題，介紹動直線恒過定點在解題中的應(yīng)用. 點評：本題的關(guān)鍵在于挖掘...
例談圓錐曲線中非對稱問題的處理策略 在圓錐曲線問題中，將直線方程與曲線方程聯(lián)立后，消去x或y，得到方程再結(jié)合韋達定理來進行其它運算是常見的解題思路，但是在某些問題中可能會涉及需要計算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式.像這種“非對稱”的韋達定理結(jié)構(gòu)，通常是無法根據(jù)韋達定理直接求出的，大部...
常規(guī)方法切入，破解概率最值 概率的最值問題是統(tǒng)計與概率部分實際應(yīng)用中比較常見的一類問題，借助創(chuàng)新情境的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合不同條件來確定概率的最值，為進一步的判斷、決策或方案選擇等提供條件．結(jié)合概率自身的基本特征，在進行概率的最值破解時，經(jīng)常借助基本不等式方法、比較方法以及導(dǎo)數(shù)...

一道2022年山東省預(yù)賽試題的探究 題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.證明：存在圓心在原點的定圓，使該圓上任意一點的切線與橢圓C恒有兩個交點A，B，且OA·OB=0.（2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽第12題）試題設(shè)計平凡、...
對稱區(qū)間上和為零的三元n次冪和最大值問題研究 原題已知a，b，c∈－2，2，a+b+c=0，求a3+b3+c3的最大值.（《數(shù)學通報》2020年2月問題2530［1］）筆者在原題的基礎(chǔ)上推廣得到兩個定理，為了證明這兩個結(jié)論需要用到引理1和引理2. 參考文獻［1］張云華.數(shù)學問題解...
一道2021年預(yù)賽試題的多解與變式 題目已知xy+yz+zx=1，其中x，y，z均為正數(shù)，則3xy+1+3yz+1+3zx+1的整數(shù)部分為＿＿＿.（2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽第2題）命題組通過賦值x=y=z=33得到結(jié)果.作為填空題，這是一種臨場技巧，是可行的...

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