解答圓錐曲線中點(diǎn)弦問題的三個(gè)“妙招”

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圓錐曲線中點(diǎn)弦問題是指與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題.解答此類問題，需明確中點(diǎn)弦的特點(diǎn)：（1）弦所在的直線與圓錐曲線相交；（2）弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)A（x1，y1）、B（x2，y2）與其中點(diǎn)的坐標(biāo)M（x0，y0）之間的關(guān)系x0=，y0=；（3）弦AB的斜率即為直線AB的斜率k=x（y）1（1）--x2（y2）.常見的解法有利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法、導(dǎo)數(shù)法.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

一、利用韋達(dá)定理

圓錐曲線中點(diǎn)弦問題中的弦與圓錐曲線相交，那么弦所在直線的方程與圓錐曲線的方程有兩個(gè)公共解，所以可以將弦所在的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去x或y，得到一元二次方程，便可利用方程的根的判別式來約束變量x或y的取值范圍，根據(jù)韋達(dá)定理來建立關(guān)于x1+x2、y1+y2、x1x2、y1y2的關(guān)系式，再利用中點(diǎn)的坐標(biāo)公式就能求得弦所在直線的斜率.

例1.已知橢圓C：+=1，點(diǎn)F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N，且|MN|=|AB|，求直線l的方程.

解：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|=2，|MN|=2，則|MN|≠|(zhì)AB|，不符合題意.

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，（|y=kx+2，

聯(lián)立直線與橢圓的方程可得〈+=1，

消去y整理可得（1+4k2）x2+16kx+8=0，

因?yàn)棣?（16k）2-32（1+4k2）>0，所以k2>.設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），

所以x1+x2=-，x1x2=，

則x0==-，

因?yàn)閨MN|=|AB|，

則=|x1-x2|，可得k=±，所以直線l的方程為y=±x+2.

先將直線與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，即可建立關(guān)于x的一元二次方程；然后根據(jù)韋達(dá)定理建立x1+x2、x1x2的關(guān)系式；再根據(jù)弦長公式便可求得直線的斜率.

二、巧用點(diǎn)差法

點(diǎn)差法是解答中點(diǎn)弦問題的常用方法.運(yùn)用點(diǎn)差法解題的主要步驟是：（1）設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線的方程中，并將兩個(gè)方程相減；（3）根據(jù)直線的斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立中點(diǎn)和直線斜率之間的關(guān)系.運(yùn)用該方法解題，能有效地減少運(yùn)算量.

例2.若拋物線C：y2=x上存在不同的兩點(diǎn)P，Q，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=m（x-3）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：①當(dāng)m=0時(shí)，直線l的斜率不存在，由拋物線的對(duì)稱性可知，存在P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱；

②當(dāng)m≠0時(shí)，設(shè)拋物線C上關(guān)于直線l：y=m（x-3）對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為P（x1，y1），Q（x2，y2），其中點(diǎn)為M（x0，y0），

則x0=，y0=；

因?yàn)镻，Q的坐標(biāo)滿足拋物線的方程，可得y12=x1，y22=x2，

將上述兩式作差可得：

kPQ=x（y）1（1）--x（y）2（2）=y1 y2=2y（1）0，

因?yàn)閗PQ=-，可得y0=-.

又因?yàn)橹悬c(diǎn)M（x0，y0）在直線l：y=m（x-3）上，

所以y0=m（x0-3），即-=m（x0-3），

解得x0=.

因?yàn)橹悬c(diǎn)M在拋物線y2=x的內(nèi)部，

所以y02<x0，可得[m（x0-3）]2<x0，

即m（-3）2<，解得m∈（-，）.

所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 （- 10 ， 10） .

解答本題主要運(yùn)用了點(diǎn)差法.先將弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程中，并將兩個(gè)方程作差，即可得到有關(guān) x1 + x2、y1 + y2 、x1x2、y1y2 、y1 - y2x1 - x2的式子；然后直接根據(jù)直線的斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.

三、妙用導(dǎo)數(shù)法

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解圓錐曲線中點(diǎn)弦問題，需對(duì)圓錐曲線的方程求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù) f （x） 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0） 的幾何意義：在曲線 y＝f （x） 上點(diǎn) P（x0，y0） 處的切線的斜率為 f ′（x0） ，來求得圓錐曲線的切線的斜率 f ′（x0） ，以及切線的方程為 y - y0 = f ′（x0）（x - x0） ．因?yàn)閳A錐曲線的切線有無數(shù)條，且切線隨著 x0 的變化而變化，所以我們可以將中點(diǎn)弦所在的直線看作與切線平行的直線，據(jù)此求得中點(diǎn)弦所在直線的斜率，再將中點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得中點(diǎn)弦所在直線的方程。（剩余255字）