中學(xué)數(shù)學(xué)研究

2023年11期

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《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》創(chuàng)刊于1980年，是由江西師范大學(xué)主管、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院主辦，《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》主要介紹中國(guó)... 展開

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大概念視角下數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的實(shí)踐及反思 1.引言數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，也是落實(shí)新課程改革理念的重要環(huán)節(jié)，而習(xí)題教學(xué)是中學(xué)教學(xué)活動(dòng)中重要的課型之一，是評(píng)價(jià)教學(xué)效果的重要方式［1］.然而重視習(xí)題和習(xí)題教學(xué)并不意味著繼續(xù)遵循當(dāng)前的習(xí)題操作模式.當(dāng)前習(xí)題教學(xué)普遍存在...
立足學(xué)生本位發(fā)展學(xué)科素養(yǎng) 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）中，對(duì)“圓錐曲線的方程”做了如下學(xué)業(yè)要求：能夠根據(jù)不同的情境，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠運(yùn)用代數(shù)的方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系，能夠運(yùn)...
問題驅(qū)動(dòng) 類比遷移生長(zhǎng)思維 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版）指出：體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題．基于此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)...
例探初中生符號(hào)意識(shí)形成路徑 七年級(jí)是從小學(xué)的算術(shù)思維向用字母表示數(shù)形成代數(shù)思維的啟蒙期，八年級(jí)則是學(xué)生符號(hào)意識(shí)形成的關(guān)鍵期.從學(xué)生認(rèn)知能力來看，八年級(jí)學(xué)生抽象能力迅速發(fā)展，已經(jīng)基本能夠借助符號(hào)進(jìn)行形式化演繹推理；從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，軸對(duì)稱圖形（線段、角、等腰三角形）和中心...
問題驅(qū)動(dòng) 精彩生成 近日隨堂聽了一節(jié)內(nèi)容為求函數(shù)值域的二輪復(fù)習(xí)課．執(zhí)教老師首先給出一道例題：求 y=x+1x的值域．學(xué)生們隨后就說這題太簡(jiǎn)單了并迅速給出答案為（－∞，－2］∪2，+∞．當(dāng)時(shí)課堂氣氛很是熱烈，其中一位女同學(xué)站起來說：老師，求值域有很多方法我們前面...
優(yōu)化解題反思提升核心素養(yǎng) 解題中，學(xué)生常常出現(xiàn)考慮不周、淺嘗輒止等現(xiàn)象，教師應(yīng)有意識(shí)地引領(lǐng)反思，促使他們形成解題反思能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，以有效提升其核心素養(yǎng)．本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，就引領(lǐng)解題反思在提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的意義和作用作一闡述，以饗讀者. 1.引領(lǐng)錯(cuò)...

為什么我連“解三角形”都不會(huì)？ 為什么我連解三角形都不會(huì)？”這是近期聽到學(xué)生抱怨最多的一句話．原本十拿九穩(wěn)的“解三角形”問題，在近幾年的高考、模擬考中也變得不那么容易了，與“解三角形”相關(guān)的解答題的得分率較之前普遍低了很多．在高三復(fù)習(xí)階段，盡管進(jìn)行了大量的“解三角形”的講...
“四析”一道極值點(diǎn)偏移問題 極值點(diǎn)偏移問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想解決函數(shù)問題的能力，是值得深入探究的課題，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好素材. 在文［1］中，筆者基于基本函數(shù)模型lnx+λx，建立與之相關(guān)的一個(gè)定理，并衍生出與其...
由一道高考題的解法引發(fā)的思考 隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，新教材在全國(guó)各地的廣泛使用，實(shí)行新高考的省市在不斷增加，一些立足“四基”，發(fā)展“四能”，體現(xiàn)“素養(yǎng)”的創(chuàng)新試題將陸續(xù)出現(xiàn)在新高考試題中，現(xiàn)以2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷12題為例，本文從不同視角對(duì)該題進(jìn)行剖析，指出試題以“...
多視角剖析一道離心率質(zhì)檢題 離心率是解析幾何中的重要知識(shí)，近年高考及質(zhì)檢試題頻頻出現(xiàn)求解離心率的值或取值范圍問題.這類問題?？汲Ｐ拢瑢W(xué)生解決該問題有一定難度.一般求解策略為利用圓錐曲線的定義或幾何特征尋找基本量間的關(guān)系，進(jìn)而解決離心率問題.［1］本文從多個(gè)角度對(duì)202...
曲線系方程在求解圓錐曲線定值定點(diǎn)問題中的妙用 筆者在查閱近年的解析幾何高考解答題中，發(fā)現(xiàn)對(duì)于圓錐曲線中定值定點(diǎn)問題的考察頻頻出現(xiàn)，只不過考察的形式往往不同，為此，筆者另辟蹊徑，借助曲線系方程求解相關(guān)問題，發(fā)現(xiàn)很多問題都能迎難而解．...
一道測(cè)試題的求解、溯源與拓展 本題在無顯性方程條件下，探求二元三角函數(shù)的最值問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，試題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔清新，思維跨度較大，頗具綜合性、挑戰(zhàn)性和選拔性....

一個(gè)加強(qiáng)歐拉不等式的幾何意義及應(yīng)用 在文［1］中，作者得到了一個(gè)歐拉不等式的加強(qiáng)形式，即在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥rR+32. 再利用歐拉不等式我們可得到下面這個(gè)不等式鏈：在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥2≥rR+...
對(duì)一道課本習(xí)題的探究及推廣 問題（人教版普通高中教科書（2019）數(shù)學(xué)A版必修第一冊(cè)58頁第10題）兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，哪種...
對(duì)一道高考題的分析與拓展 1.試題呈現(xiàn) （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交...
三角形中線上點(diǎn)的性質(zhì)及其空間推廣 文〔1〕給出了三角形中線上點(diǎn)的性質(zhì)及其空間推廣，受此啟發(fā)，經(jīng)筆者研究后將文〔2〕中的性質(zhì)加以推廣....
一道橢圓模擬題的解法與結(jié)論推廣 該試題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，涉及的主要考點(diǎn)有：橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系及求最值等.第（1）小題，由于求的是角的余弦值，因而與三角函數(shù)、三角恒等變換知識(shí)或與向量運(yùn)算緊密結(jié)合，體現(xiàn)知識(shí)間的相互滲透應(yīng)用；第（2）小題，求兩線段長(zhǎng)度...
橢圓內(nèi)接三角形的幾個(gè)斜率定值 本文將給出與橢圓內(nèi)接三角形三邊所在直線斜率有關(guān)的幾個(gè)美妙定值....
一道模考題的解法探究與推廣 1 試題呈現(xiàn) （2023屆安徽省“江南十?！甭?lián)考21題）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓C1：x24+y2b2=1（0＜b＜2），雙曲線C2是橢圓C1的“姊妹”圓錐曲線...
一道圓錐曲線質(zhì)檢題的探究 題（2022年福建省質(zhì)量檢測(cè)試題第21題）已知橢圓C的中心為O，離心率為22.圓O在C的內(nèi)部，半徑為63.P，Q分別為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)的最小距離為1－63.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程；（2）A，B是C上不同的兩點(diǎn)，且直線...

高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下尋根探源必要性的入手“點(diǎn)” 初等數(shù)學(xué)的有些問題需要在高等數(shù)學(xué)的理論里加以解釋.數(shù)學(xué)家克萊因指出：“有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)，才能深刻地理解.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了事務(wù)才顯得明了而簡(jiǎn)單.”［...
對(duì)數(shù)平均不等式在高考中的應(yīng)用 這是1957年奧斯特和特維爾格首次比較了對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均，給出了L（x，y）≤x+y2，它被稱為奧斯特——特維爾格不等式. 設(shè)x>0，y>0，與算術(shù)平均和幾何平均比較，則有xy<x－ylnx－lny<x+y2.我們...
例析函數(shù)思想在比較大小問題中的切入角度 大小比較問題信息簡(jiǎn)潔明了，但題目串聯(lián)起各類函數(shù)、不等式等諸多知識(shí)點(diǎn)，可以考察學(xué)生轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)結(jié)合、構(gòu)造等諸多能力，成為包括高考在內(nèi)的各級(jí)考試中的熱門題型.函數(shù)思想是解決此類問題的一個(gè)重要方法，本文就函數(shù)思想在比較大小問題中切入角度進(jìn)行一些剖析...
例談構(gòu)造函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問題 在眾多函數(shù)問題的求解中，大家比較熟悉應(yīng)用導(dǎo)數(shù)去解決，通過求導(dǎo)把函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程進(jìn)而求解.但在具體的操作中，面對(duì)不同的函數(shù)，直接求導(dǎo)再作分析遇到很大困難，以至于求完導(dǎo)便不知所措，找不到解決問題的方向.本文借助一些例題，分析在解決函數(shù)問題中通過構(gòu)...
例談三角最值問題 三角一直是高考的重點(diǎn)考察對(duì)象，解三角形中的最值問題更是高頻考點(diǎn)，因?yàn)樗子诤推渌R(shí)進(jìn)行交匯，全面考察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.解三角形是由已知的邊角確定未知邊角元素的過程．而正、余弦定理的作用就是將邊角間的關(guān)系數(shù)量...
例析利用基底法解立體幾何問題 在2019人教A版必修第二冊(cè)中，向讀者介紹了利用立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系；在選擇性必修第一冊(cè)中，又介紹了利用空間向量表示空間中的點(diǎn)、線、面等基本元素，通過空間向量運(yùn)算解決立體幾何問題.由此可見，對(duì)于立體幾何問題，空間...
橢圓曲線中斜率之積為定值的解法探究 圓錐曲線定點(diǎn)、定值問題已成為高考或模擬考試中的重點(diǎn)考查對(duì)象，其求解過程往往涉及豐富的知識(shí)內(nèi)容和靈活運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想.試題通過具體數(shù)據(jù)的巧妙設(shè)問，獲取一些特殊結(jié)論，這些結(jié)論看似特殊，實(shí)則具有普遍性，此類試題的研究不僅能夠抓住圓錐曲線的本質(zhì)，還能...

仰觀試題之高端，俯察教材之基礎(chǔ) 《普通高中課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下稱“新課標(biāo)”）作為當(dāng)前教學(xué)的重要依據(jù)，立德樹人作為核心素養(yǎng)發(fā)展的重要抓手，將在很長(zhǎng)一段時(shí)間對(duì)考試命題與評(píng)價(jià)起到根本性的改變．考試對(duì)教學(xué)起到引導(dǎo)與反饋的重要作用，也是當(dāng)前檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效能與核心...
一道2022年江西預(yù)賽試題的多解探究與變式 1 試題呈現(xiàn) 若x，y，z>0，滿足xy+yz+zx=1，則函數(shù)f（x，y，z）=xy+5+yz+5+zx+5的最大值為 . 分析：這是2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西賽區(qū)的一道根式函數(shù)求最大值的試題.文［1］通過三種方法求得該函數(shù)...

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