空間幾何體體積的幾種求法

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求空間幾何體的體積問題側重于考查棱柱、圓柱、圓臺、圓錐、棱臺、棱錐、球等簡單空間幾何體的特征及其體積公式.這就要求同學們熟記并靈活運用幾個簡單空間幾何體的性質和體積公式.下面結合實例，介紹空間幾何體體積的幾種求法.

一、直接法

當遇到一些簡單、常見、規(guī)則的空間幾何體時，可以采用直接法求解.先觀察幾何體的結構特征，快速確定幾何體的底面和高；然后直接運用棱柱、圓柱、圓臺、圓錐、棱臺、棱錐、球的體積公式來求其幾何體的體積.

例[1].已知直三棱柱[ABC-A1B1C1]的側面[AA1B1B]為正方形，如圖1所示，[AB=BC=2]，[E，F(xiàn)]分別為[AC]，[CC1]的中點，[BF⊥A1B1]，求三棱錐[F-EBC]的體積.

解：如圖1，連接[AF]，

由題意可知：

因為[AB⊥BB1]，[BC⊥AB]，[BB1?BC=B]，

所以[AB⊥平面BCC1B1]，所以[AB⊥BF]，

二、等積法

當無法直接運用體積公式求得三棱錐的體積時，可以采用等體積法，即不改變三棱錐的體積，通過更換三棱錐的底面和頂點，來求得三棱錐的體積.一般地，可以根據題目的條件選擇易于求得面積的底面與高，來求三棱錐的體積.

例[2].如圖2所示，已知平面[PCBM]為直角梯形，[∠PCB=90°]，[PM∥BC]，[PM=1]，[BC=2]，[AC=1]，[∠ACB=120°]，[AB⊥PC]，直線[AM]與直線[PC]所成的角為[60°]，求三棱錐[P-MAC]的體積.

解：設點[N]是[BC]的中點，如圖2，

所以平面[PCMN]為正方形，

又因為[MN⊥平面ABC]，所以[∠AMN=60°]，

要求三棱錐[P-MAC]的體積，需求得底面[PCM]的面積以及點[A]到底面[PCM]的距離，但很難求得點A到底面的距離，而[VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN]，于是采用等體積法，通過求得三棱錐[M-ACN]的體積，從而求得三棱錐[P-MAC]的體積.

三、割補法

當遇到的空間幾何體的形狀較為復雜時，往往可以將其分割或者補成幾個規(guī)則的空間幾何體，依次求出這幾個規(guī)則幾何體的體積，再將所得結果進行相加減，即可求得復雜空間幾何體的體積.

例[3].如圖3所示，在多面體[ABCDEF]中，已知[ABCD]是邊長為[1]的正方形，且[△ADE，△BCF]都是正三角形，[EF∥AB]，[EF=2]，求該多面體[ABCDEF]的體積.

解：如圖3，分別過[A]、[B]作[EF]的垂線，垂足分別為[G]、[H]，連接[DG，CH]，即可將原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.

本題中的圖形為不規(guī)則幾何圖形，無法直接求得其體積，于是采用割補法，將其分為兩個三棱錐和一個直三棱柱，利用椎體和棱柱的體積公式求出三者的體積，并將其相加，即可得到多面體[ABCDEF]的體積.

例[4].已知三棱錐[P-ABC]的四個頂點都在球[O]的球面上，且線段[PA=PB=PC]，[△ABC]是邊長為[2]的正三角形，[E，F(xiàn)]分別是[PA，AB]的中點，[∠CEF=90。（剩余429字）