非緊致度量空間上的持久性

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摘要：考慮非緊致度量空間上同胚的持久性問題，利用同胚的持久性、等度連續(xù)性、強拓撲穩(wěn)定性、持久跟蹤性等定義，證明：等度連續(xù)且拓撲穩(wěn)定的同胚是持久的；同胚有持久跟蹤性當且僅當該同胚是持久的且有偽軌跟蹤性；有持久跟蹤性的可擴同胚是強拓撲穩(wěn)定的.

關鍵詞：持久性；等度連續(xù)性；強拓撲穩(wěn)定性；持久跟蹤性；非緊致度量空間

中圖分類號：O189.11文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1022-05

Persistence on Noncompact Metric Spaces

LIU Jiahui，DONG Meihua

（College of Science，YanbianUniversity，Yanji 133002，Jilin Province，China）

Abstract：We considered the persistence problem of homeomorphism on noncompact metric spaces.By using the definitions of persistence，equicontinuity，strongly topological stability，and persistent shadowing property of homeomorphisms，we prove that homeomorphisms that are equicontinuity and topologically stable are persistent，homeomorphisms have persistent shadowing properties if and only if they are persistent and have pseudoorbital shadowing properties，and an expansive homeomorphism with persistent shadowing property is strongly topologically stable.

Keywords：persistence;equicontinuity;strongly topological stability;persistent shadowing property;noncompact metric space

如果一個動力系統(tǒng)的同胚的每個軌道都可以被該系統(tǒng)中其他同胚經過足夠小擾動的一些真軌跟蹤，則該同胚就是持久的.目前，關于持久性的研究已得到了很多結果[12.Lewowicz首次提出了持久性動力系統(tǒng)的概念，并證明了每個具有稠密雙曲周期點（包括偽Anosov映射）的二維或三維可擴同胚都是持久的.持久性包括持久性和a-持久性[8-9]，本文主要討論}-持久性.Sakai等[2]研究表明，緊致度量空間上的移位映射是拓撲穩(wěn)定的，但不是持久的，而緊致流形上的每個拓撲穩(wěn)定同胚是持久的.表明相比于拓撲穩(wěn)定性，它是一種更弱的穩(wěn)定性.但持久性不能推出拓撲穩(wěn)定性，因為偽Anosov映射是持久的但不是拓撲穩(wěn)定的.而在螺線群的群自同構中二者是等價的.Dong等[3]證明了在緊致度量空間上，每個等度連續(xù)且逐點拓撲穩(wěn)定的同胚都是持久的.Khan等給出了上述性質的另一種證明方法，并且驗證了緊致度量空間上關于等度連續(xù)同胚且逐點強拓撲穩(wěn)定的Borel概率測度是強持久的.Kawaguchi]提出了強拓撲穩(wěn)定性的概念.Jung等[5]引入了持久跟蹤性的概念，證明了緊致度量空間上每個同胚具有持久跟蹤性當且僅當它具有偽軌跟蹤性且是持久的，并證明了緊致度量空間的每個強拓撲穩(wěn)定同胚都是持久的.Lee等[6]提出了非緊致度量空間上同胚的可擴性、偽軌跟蹤性和拓撲穩(wěn)定性等概念，并將緊致度量空間中的Walters穩(wěn)定性定理和Smale的譜分解定理延伸到了非緊致度量空間中，受上述研究的啟發(fā)，本文將上述在緊致度量空間中的相關結論擴展到非緊致度量空間中.

1預備知識

設X是緊致度量空間，f是X上的自同胚，d是X上的一個度量，對任意的z∈X，定義任意兩個映射之間的C。（剩余6836字）