冪級數(shù)收斂半徑的求解探討

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摘要：本文通過三個例子表明比式審斂法或根式審斂法是冪級數(shù)收斂半徑計算的一個充分性條件，但非必要條件，在應(yīng)用上有很大的局限性.綜合使用比較判別法、逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分不改變冪級數(shù)的斂散性、上極限計算以及柯西-阿達(dá)馬定理等結(jié)論，可處理任意冪級數(shù)收斂半徑的計算.

關(guān)鍵詞：冪級數(shù)；收斂半徑；上極限

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)性學(xué)科，其有著高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性，因此我們要通過對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、獨(dú)立思考問題和解決問題的能力［1］.

在高等數(shù)學(xué)中，有一類結(jié)構(gòu)相對簡單、應(yīng)用非常廣泛的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)——冪級數(shù)［2］.對于冪級數(shù)的研究主要討論其和函數(shù)的分析性質(zhì)，以及將函數(shù)展成冪級數(shù)的條件和展開式，而本文主要討論求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域問題.在教材和教學(xué)活動中，側(cè)重于介紹利用各種公式求解冪級數(shù)的收斂半徑.無論是缺項(xiàng)的冪級數(shù)還是不缺項(xiàng)的冪級數(shù)，求收斂半徑的本質(zhì)主要是基于阿貝爾定理和正項(xiàng)級數(shù)的根式審斂法或者比式審斂法.本文從精選的幾道例題出發(fā)，闡述常用的審斂法的局限性以及對應(yīng)的解決思路.

1 求冪級數(shù)收斂半徑的主要方法

2 應(yīng)用舉例

3 問題的延伸

結(jié)語

本文探討的幾個冪級數(shù)收斂半徑的計算，是對常規(guī)計算方法（比式審斂法或根式審斂法）的一個有益補(bǔ)充，希望可以幫助工科學(xué)生更好地掌握這部分知識，培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（剩余625字）