看似尋常蘊(yùn)玄機(jī)，道似無情卻有情

——深度探究2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)解析幾何大題的源與流

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王國維在《人間詞話》中寫道：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外. 入乎其內(nèi)，故能寫之;出乎其外，故能觀之. 入乎其內(nèi)，故有生氣;出乎其外，故有高致.”同樣我們對于高考題的研究同樣如此：既要入乎其內(nèi)——尋求解題的思路和突破口，找到最優(yōu)解題思路，提煉其中思想方法，從而得到這類題的常規(guī)解法，接著找出其共性的知識和通性通法，對其通法深度挖掘和提煉反思;還要出乎其外——尋求其知識的“源”與“流，通過對此基本類型進(jìn)行變式拓展推廣，探窺其本質(zhì). 而今年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題頗有“韻味”：看似尋常卻蘊(yùn)含“玄機(jī)”，但當(dāng)真正我們?nèi)プ龅臅r候卻發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量比較大，頗有“食之無味，棄之可惜”的味道，但只要我們在平時注重運(yùn)算的算理和算法，掌握解析幾何的常規(guī)方法，會發(fā)現(xiàn)這道解析幾何大題對考生看似無情（運(yùn)算量大）卻有情（解法常規(guī)且入口多）. 下面我以2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題這道題為載體，入乎其內(nèi)——對其解法進(jìn)行深度探究，突破這道題的運(yùn)算“瓶頸”，探窺其本質(zhì)，還出乎其外——對此類雙曲線的類型從特殊到一般，進(jìn)行推廣拓展，能“見”雙曲線而“思”圓錐曲線，實(shí)現(xiàn)深度探究.最終讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實(shí)現(xiàn)高效備考，探究出2023年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略，從而實(shí)現(xiàn)2023年高考解析幾何的高效備考.

一、看似尋常最崎嶇，成如容易卻艱辛——真題回放

（2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C∶-=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面積.

【點(diǎn)評】本題面孔尋常，仍堅持和去年一樣考查雙曲線，考查內(nèi)容常規(guī)、樸實(shí)，這樣設(shè)置有利于考生思維的展開，給考生一課“定心丸”，這里實(shí)際上是解析幾何的“手電筒模型”，利用其二級結(jié)論很快答案，但這是大題，需要嚴(yán)格的邏輯推理，按照常規(guī)思路做，會發(fā)現(xiàn)在第（1）問就設(shè)置了一個“高門檻”——運(yùn)算能力要求高，要求出直線l的斜率頗有難度;而第（2）問求△PAQ的面積，這里要轉(zhuǎn)化tan∠PAQ=2這個條件，很多考生也難以轉(zhuǎn)化，加上對長度、面積等幾何量進(jìn)行了多角度、深層次的考查，具有較強(qiáng)的綜合性。（剩余9430字）