中考?jí)狠S題

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名師原創(chuàng)

平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別是（m，0），（0，2m），以O(shè)A，OB為邊作矩形OAPB.

定義：矩形OAPB內(nèi)部（不含邊界）的函數(shù)圖象為G，當(dāng)G隨x的增大而增大或者隨x的增大而減小時(shí)，稱G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”.

（1）如圖1，一次函數(shù)y = kx + b與x軸、y軸分別交于C（4，0），D（0，2）兩點(diǎn)，當(dāng)G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”時(shí)，求m的取值范圍.

（2）如圖2，反比例函數(shù)y = [kx]的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），當(dāng)G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”時(shí)，求m的取值范圍.

[y][x] [D][B][P][A][O][C] [y][x] [B][P][A][O]

圖1 圖2

（3）如圖3，二次函數(shù)y = [ax2+bx+c]頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E[0，32].

①當(dāng)G為矩形OAPB的 “單調(diào)圖象”時(shí)，求m的取值范圍.

②如圖4，將矩形OAPB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形O'AP'B'，連接PP'交O'B'于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)H，設(shè)MH的長(zhǎng)度為h，當(dāng)G同時(shí)為矩形OAPB和矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”時(shí)，求h的取值范圍.

[x][y][B][P][A][O][C][D][E] [x][y][H][E][B][P][B'][P'][A][O][C][D][O'][M]

圖3 圖4

思路點(diǎn)撥

（1）當(dāng)點(diǎn)P在直線CD上時(shí)，m = [45]，所以當(dāng)m > [45]時(shí)，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”.

（2）①若矩形OAPB在第一象限，當(dāng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，m = [62]，所以當(dāng)m > [62]時(shí)，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”. ②若矩形OAPB在第一象限，當(dāng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上時(shí)，m = - [62]，所以當(dāng)m < - [62]時(shí)，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”.

（3）①當(dāng)矩形OAPB在第一象限，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，m = [34]，當(dāng)點(diǎn)P與拋物線頂點(diǎn)重合時(shí)，m = 1，所以，當(dāng)[34] < m ≤ 1時(shí)，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”；若矩形OAPB在第三象限，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，m = -1，所以，當(dāng)m < -1時(shí)，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”. ②因?yàn)楫?dāng)G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”時(shí)，[34] < m ≤ 1或m < -1，只需要再滿足G為矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”即可. 當(dāng)矩形O'AP'B'在第一象限時(shí)，若B'在拋物線上，則m = [2+319]，若A與D重合，則m = 3. 因此當(dāng)[2+319] < m ≤ 3時(shí)，G為矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”. 綜上，當(dāng)[2+319] < m ≤ 1時(shí)，G同時(shí)為矩形OAPB和矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”，此時(shí)M（2m，m），[h=yH-yM=-2m2+m+32]，則[12≤h<231+139162]. 當(dāng)矩形O'AP'B'在第三象限，[-3<m<-1]時(shí)，[h=yM-yH=2m2-m-32]，則[32<h<9+232].

（本文系遼寧省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)背景下的作業(yè)設(shè)計(jì)研究”的階段性研究成果。（剩余0字）