添加輔助線構(gòu)造全等三角形

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全等三角形是幾何部分的基礎(chǔ)，對(duì)一些幾何題，我們可以通過添加輔助線證明三角形全等來找到解決辦法，下面舉例說明常見輔助線的作法.

一、倍長(zhǎng)中線法

例1 數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究、實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)你和他們一起解決問題吧．

[發(fā)現(xiàn)問題]他們?cè)谔骄繉?shí)驗(yàn)活動(dòng)中遇到了下面的問題：如圖1，AD是△ABC的中線，若已知AB=5．AC=3，求AD的長(zhǎng)的取值范圍．

[探究方法]通過探究他們發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，可以得到△ADC≌△EDB.利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的兩邊長(zhǎng)與AD轉(zhuǎn)化到△ABE中，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)的取值范圍．

[方法小結(jié)]從上面的思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線AD延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫作“倍長(zhǎng)中線法”．

（1）請(qǐng)你利用上面解答問題的思路方法，寫出求解AD的長(zhǎng)的取值范圍的過程．

[問題解決]

（2）如圖2，CB是△ACE的中線．CD是△ABC的中線．且AB=AC．有下列四個(gè)結(jié)論：①∠ACD=∠BCD；②CE=2CD：③∠BCD=∠BCE;④CD=CB.

請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)：____．

分析：（1）依據(jù)所給思路證明全等三角形，推出AC=BE=3.再利用三角形的三邊關(guān)系求解.（2）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=CD，連接BF.先證△ADC≌△BDF．再證△CBE≌△CBF，即可判斷.

解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE.

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD，

∴△ADC≌△EDB（SAS）.

∴AC=BE=3.

∵AB=5．

∴5-3＜AE＜5+3．即2＜2AD＜8.

∴1＜AD＜4.

（2）如圖3，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=CD，連接BF.

仿（1）證△ADC≌△BDF（SAS），得BF=AC， ∠ABF=∠A．

∵AC=AB．

∴BF=AB，∠ACB=∠ABC.

∵B為AE的中點(diǎn)，

∴BE=AB=BF．

∵∠CBE=∠ACB+∠A.

∠CBF=∠ABC+∠ABF，

∴∠CBE=∠CBF.

又CB=CB，BE=BF，

∴△CBE≌△CBF（SAS）．

∴CE=CF=2CD，∠BCE=∠BCD.

∴正確的結(jié)論是②③．填②③，

二、翻折法

例2 如圖4，已知AD為△ABC的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證BE+CF＞EF.

分析：欲證BE+CF＞EF，易聯(lián)想到三角形的三邊關(guān)系，因此需要設(shè)法把BE，CF，EF放在同一個(gè)三角形中，因?yàn)椤?=∠2，∠3=∠4，所以把△BDE和△CDF分別沿DE和DF翻折，DB和DC都恰好落在AD上．又知DB=DC．故翻折后點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，這樣即可把所求線段放在同一個(gè)三角形中．

證明：如圖5，在DA上截取DN=DB.已知AD為△ABC的中線，則DN=DB=DC.

連接NE，NF.

∵DB=DN，∠1=∠2，DE=DE，

∴△BDE≌△NDE（SAS）.

∴BE=NE．

同理CF=NF.

在△EFN中。（剩余299字）